Meтод ЛЧХ является одним из наиболее распространенных методов синтеза автоматического управления, так как построение ЛЧХ, как правило, может выполняться практически без вычислительной работы. Особенно удобно использовать асимптотические «идеальные» ЛАЧХ.

Процесс синтеза обычно включает в себя следующие операции;

1. Построение ЛАЧХ неизменяемой части системы.

Неизменяемая часть системы регулирования содержит объект регулирования и исполнительный элемент, а также основной элемент обратной связи и элемент сравнения ЛАЧХ неизменяемой части строят по передаточной функции разомкнутой неизменяемой части системы.

2. Построение желаемой части ЛАЧХ.

График желаемой ЛАЧХ делается на основе тех требований, которые предъяв­ляются к проектируемой системе управления. Желаемую ЛАЧХ Lж условно можно разделить на три части: низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

2.1 Низкочастотную часть определяет статическую точность системы, точность в установившихся режимах. В статической системе низкочастотная асимптота параллельна оси абсцисс. В астатической системе наклон этой асим­птоты составляет –20мдБ/дек, где - порядок астатизма ( =1,2). Ордината низко­частотной части Lж определяется значением передаточного коэффициента К ра­зомкнутой системы. Чем шире низкочастотная часть Lж, тем больше высоких частот воспроизводится системой без замкнутого ослабления.

2.2 Среднечастотная часть является наиболее важной, так как она определяет устойчивость, запас устойчивости и, следовательно, качество переходных процес­сов, оцениваемое обычно показателями качества переходной характеристики. Основные параметры среднечастотной асимптоты -это её наклон и частота среза ср (частота при которой Lж пересекает ось абсцисс). Чем больше наклон сред­нечастотной асимптоты, тем труднее обеспечить хорошие динамические свойст­ва системы. Поэтому наиболее целесообразен наклон -20дБ/ дек и крайне редко он превышает -40дБ /дек Частота среза ср определяет быстродействие системы, и значение величины перерегулирования. Чем больше ср, тем выше быстро­действие, тем меньше время регулирования Тпп переходной характеристики, тем больше перерегулирование .

2.3 Высокочастотная часть ЛАЧХ незначительно влияет на динамические свойства системы. Лучше иметь возможно больше наклон ее асимптоты, что уменьшает требуемую мощность исполнительного opгана и влияние высоко­частотных помех. Иногда при расчете высокочастотную ЛАЧХ не принимают во внимание.

где - коэффициент, зависящий от величины перерегулирования ,

Должен быть выбран по графику приведенном на рисунке 1.

Рисунок 18- График для определения по допустимому перерегулированию коэффициента .

Ордината низкочастотной асимптоты определяется соответственно коэффици­

ентом усиления и наклоном высокочастотной асимптоты переходной, разомкну­той CAP.

3. Определение параметров корректирующего устройства.

3.1 График ЛАЧХ корректирующего устройства получается вычитанием из зна­чения графика желаемой ЛАЧХ значений графика неизменяемой, после чего по ЛАЧХ корректирующего устройства определяется его передаточная функция .

3.2 По передаточной функции регулятора подбирается электрическая схема для реализации корректирующего устройства и рассчитываются значения её па­раметров. Схема регулятора может быть на пассивных или на актив­ных элементах.

3.3 Передаточная функция корректирующего устройства, полученная в пункте 3.1,включается в обобщенную структурную схему САУ Используя обобщенную структурную схему скорректированной САУ, с помощью ЭВМ, строятся графики переходных процессов, которые должны быть не хуже заданных.

Пример:

6.Синтез системы автоматического управления методом логарифмических частотных характеристик.

Синтез линейных САУ

Основные понятия о синтезе систем управления

Все математические задачи, решаемые в теории автоматического управления, можно объединить в два больших класса – задачи анализа и задачи синтеза автоматических систем.

В задачах анализа полностью известна структура системы, заданы все (как правило) параметры системы, и требуется оценить какое-либо ее статистическое или динамическое свойство. К задачам анализа относятся расчет точности в установившихся режимах, определение устойчивости, оценка качества системы.

Задачи синтеза можно рассматривать как обратные задачам анализа: в них требуется определить структуру и параметры системы по заданным показателям качества. Простейшими задачами синтеза являются, например, задачи определения передаточного коэффициента разомкнутого контура по заданной ошибке или условию минимума интегральной оценки.

Под синтезом линейных САУ понимается выбор такой структурной схемы, ее параметров, характеристик, которые отвечают с одной стороны заданным показателям качества и простоты технической реализации и надежности с другой стороны.

Особенности синтеза

САУ включает в себя объект управления и корректирующие устройства (это такие устройства, структура и параметры которых изменяются в соответствие с задачей синтеза).

Задание показателей качества определяется как верхняя граница допустимых показателей качества, т.о. заданные показатели качества определяют собой область принятия решений. Поэтому при синтезе выбирают критерий оптимизации, позволяющий определить однозначный выбор структуры и параметров САР.

Для современных САУ процедура синтеза определяет ориентировочную характеристику САУ, поэтому окончательный результат получается в результате анализа (настройки, моделирования) синтезированной САУ.

Этапы синтеза САУ

Анализируется объект управления, определяются статические и динамические характеристики объекта.

Определяется критерий оптимизации, основанный на заданных показателях качества САУ.

Строится структурная схема САУ, выбираются технические средства ее реализации.

Синтез оптимальной динамической характеристики.

Аппроксимация оптимального динамического режима, т.е. выбор динамических характеристик (желаемых), отвечающих заданным показателям качества и простоте технической реализации корректирующих устройств.

Определение динамических характеристик корректирующих устройств, которые обеспечивают желаемые динамические характеристики всей системы.

Выбор схемы и способа технической реализации корректирующих устройств по заданной динамической характеристике корректирующего устройства.

Анализ синтезированных САУ.

Синтез систем методом ЛАЧХ

Существует два способа включения корректирующих устройств:

Последовательно к объекту управления.

Здесь W 0 (p ) – передаточная функция объекта, а W кор (р) – передаточная функция корректирующего устройства.

Достоинством последовательной схемы вклю­чения является простота технической реализации.

Недостатки: высокая чувствительность данной схемы к помехам; сильная зависимость от изменений параметров объекта.

Параллельно к некоторой части объекта.

Д

остоинства: уменьшение зависимости, в отличие от схемы (1), от изменения параметра объекта, хорошая помехозащищенность.

Недостатки: корректирующее устройство данной схемы реализуется дорогостоящими схемами, в отличие от схемы (1).

В качестве динамических характеристик, по которым осуществляется синтез САУ, выбирается ЛАЧХ разомкнутой системы объекта, т.к. по ней достаточно легко определить параметры объекта.

Желаемая ЛАЧХ

При построении желаемой ЛАЧХ выделяют три диапазона частот:

Низких частот ( с ). Данный диапазон частот отражает статические характеристики.

Диапазон средних частот ( с ). Определяет динамические характеристики объекта при ступенчатом входном воздействии.

Диапазон высоких частот ( с ). Данный диапазон частот не влияет на статику, а определяет динамические характеристики объекта при быстроизменяющемся входном воздействии.

Модальный регулятор.

Является методом корневого синтеза, а именно, по желаемому расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости строится модальный регулятор, который представляет собой коэффициенты отрицательной обратной связи по каждой динамической переменной.

Дано описание объекта:

Задаёмся видом желаемого полинома D жел (p) – в соответствии с заданными (желаемыми) показателями качества.

Введём обратную связь, вида:

где
- характеристическое уравнение системы с регулятором.

Пример: Дана система уравнений

n 1 U x 1 x 2 x 3

Нужно рассмотреть матрицу управляемости:

Система управляема, так как ранг равен порядку системы

Выбираем желаемый полином той же степени, что и система:

D жел (p)=(p+w 0 ) 3 =p 3 +3p 2 w 0 +3pw 0+ w 0 3

- оценка качества, где - время переходного процесса

При выбранном значении
получаем:

K oc1 = 2; K oc2 = -1; K oc3 =5;

Управляемость и наблюдаемость.

Система называется управляемой, если, изменяя любой из входных сигналов можно добиться желаемого значения на выходе системы за конечное время.

без нее система будет неуправляемой, а с ней -

управляемой.

Критерий управляемости.

Для того, чтобы система была управляемая необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости был равен n (порядок объекта).

В общем случае матрица управляемости является прямоугольной. Если система имеет один вход, то матрица имеет размерность
.

Наблюдаемость.

Система называется наблюдаемой, если по выходным сигналам Y можно восстановить переменные состояния X.

Наблюдаемость, в отличие от измеряемости предполагает не только измерение переменных состояний X, а также вычисления не измеряемых переменных X по измеренным.

Измеряемость – это случай, когда непосредственно можно замерить любую переменную.

Критерий наблюдаемости.

Для того, чтобы система была наблюдаема необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы наблюдаемости был равен n (порядок объекта).

До сих пор мы в основном изучали задачу анализа САУ, когда математическая модель замкнутой САУ считалась заданной, и требовалось определить качество её работы: устойчивость, точность воспроизведения входного сигнала и т.п.

Важной, и более сложной, является задача синтеза, когда заданными считаются математическая модель управляемого объекта (и может быть измерительного и исполнительного устройств). Требуется выбрать структуру САУ, закон управления и числовые значения параметров регулятора, определяющие желаемое качество САУ.

С задачами синтеза мы уже встречались. Синтез САУ можно проводить, используя критерии устойчивости, Д-разбиение, методы корневых годографов.

Синтез одномерных одноконтурных САУ с единичной ООС с помощью ЛАФЧХ разомкнутой системы

Этот метод использует тесную связь между переходной функцией замкнутой САУ при ступенчатом воздействии и вещественной частью частотной характеристики замкнутой САУ.

Здесь . (1)

Т.о. по частотным характеристикам разомкнутой системы можно определить частотные характеристики замкнутой системы и наоборот. Имеются номограммы, связывающие эти частотные характеристики.

По мы можем оценить переходный процесс (см. (1)).Таким образом, зная , мы можем оценить переходный процесс в системе.

Решать задачу синтеза САУ по частотным характеристикам удобнее, когда частотные характеристики построены в логарифмическом масштабе.

В логарифмическом масштабе по оси ординат у откладывается в дб.

Увеличение этого соотношения в 10 раз соответствует увеличению

По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе.

Декада – изменение частоты в 10 раз.

Главное преимущество построения частотных характеристик в логарифмическом масштабе состоит в том, что их можно строить приближенно, практически без вычислений.

Возьмем инерционное звено . Его передаточная функция ,

АЧХ. Частота, где , т.е. - частота сопряжения.

При приближенном построении ЛАЧХ:

1) в пренебрегаем и , а дБ

2) в пренебрегаем 1 и и в логарифмическом масштабе

Определим наклон при :

Следовательно, строя АЧХ в логарифмическом масштабе, можно убывающую часть характеристики заменить прямой с наклоном - 20дб/дек. Наибольшая погрешность будет в точке изгиба ().

Интегрирующее звено.

При .

Рассмотрим сначала на примере принцип построения приближенной ЛАЧХ (ФЧХ рассчитываются точно по формулам).

Приближенность построения ЛАЧХ заключается в том, что в частотной характеристике в членах :

1) при пренебрегают членом и звено рассматривают как усилительное ;

2) при пренебрегают 1 и рассматривают их как интегрирующее звено с частотной характеристикой , наклон характеристики которого – 20 дб/дек и при величина амплитуды равна 20lgK.

Частота, где - называется частотой сопряжения.

Определим частоты сопряжения, где ()

Во что превратится с учетом сделанных предположений:

Откладываем на оси частот частоты сопряжения.

Построение начинаем с интегрирующего звена: на частоте откладываем 20lgK=20lg100=40дб и проводим линию с наклоном -20дб/дек. На частоте «подсоединяем» еще одно интегрирующее звено – наклон стал -40дб/дек.

На частоте «подсоединяются» два дифференцирующих звена. У одного дифференцирующего звена наклон +20дб/дек , у двух интегрирующих звеньев наклон будет +40дб/дек, следовательно, результирующий наклон при будет -40дб/дек+40дб/дек=0 дб/дек.

Фазо-частотная характеристика рассчитывается.

			1зв 2зв
0,2
0,8
∞

С помощью ЛАЧХ и ФЧХ нетрудно установить устойчивость замкнутой системы.

Согласно критерию устойчивости Найквиста, замкнутая САУ устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы имеет вид (астатическая система):

На частоте амплитуда равна 1 и поэтому - запас устойчивости по фазе.

Когда фаза равна , то - запас устойчивости по амплитуде.

Для устойчивости САУ необходимо, чтобы на

Синтез САУ с помощью ЛАЧХ

проводится следующим образом:

САУ представляют

В входят объект и известные элементы регулятора, например, измерительные, исполнительные устройства.

Корректирующее устройство, которое надо определить в процессе синтеза.

Тогда передаточная функция разомкнутой системы

Здесь - передаточная функция САУ, динамика которой удовлетворяет требованиям, предъявляемым к проектируемой системе.

Тогда в логарифмическом масштабе

Для минимально-фазовых САУ вид ЛАЧХ полностью определяет переходный процесс и не надо рассматривать фазо-частотную характеристику.

Минимально-фазовые звенья (системы) – такие, у которых корни числителя и знаменателя расположены в левой полуплоскости. Таким образом, передаточная функция минимально-фазовой системы не должна иметь нулей и полюсов в левой полуплоскости.

По виду можно записать передаточную функцию корректирующего звена. В данном случае она будет иметь вид:

В литературе приводятся таблицы, связывающие вид с

И с соответствующими схемами корректирующих устройств, реализующих эти . Приведенная выше может быть реализована в виде следующей корректирующей цепочки:

Здесь и мы знаем.

По графику определяем и , .

Отсюда находим .

По графику определяем .

Отсюда определяем .

Отсюда определяем .

Отсюда определяем .

Отсюда определяем .

Отсюда определяем .

Определив параметры корректирующего звена, вводим его в систему и моделируем САУ, получаем переходный процесс. Если он не устраивает – меняем параметры звена.

Требования к .

Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы строится из общих требований к системе:

1. точность (определяет коэффициент усиления),

2. порядок астатизма,

3. время переходного процесса,

4. перерегулирование.

1. должно пересекать ось частот в точке , обеспечивающей заданное время переходного процесса

А можно по другому:

Находится из номограмм, определяющих зависимость , здесь - перерегулирование.

Например,

2. Для того, чтобы САУ была устойчивой, должна пересекать ось частот с наклоном - 20 дб/дек.

3.Для обеспечения заданного

4.Среднечастотную часть характеристики надо делать как можно шире. Чем больше диапазон , тем ближе процесс к экспоненциальному.

Среднечастотная часть в основном и определяет качество переходного процесса.

Низкочастотная часть определяет точность процесса управления.

Существует и другой способ определения конечных точек центрального отрезка:

Запас устойчивости по фазе в точке при , определяемый по ЛФЧХ, должен быть не меньше

Запас устойчивости по модулю (по амплитуде) в точке L 2 выбирается в зависимости от перерегулирования :

Сопряжение центрального отрезка ЛАЧХ с низкочастотной частью производится прямой с наклоном - 40 дб/дек или – 60 дб/дек.

Высокочастотная часть, чтобы не усложнять корректирующее устройство, выбирают аналогичной исходной ЛАЧХ.

После построения надо проверить запас устойчивости по фазе. (на )

К сожалению, этот метод синтеза не гарантирует требуемого качества переходного процесса.

Порядок расчетов при синтезе САУ с последовательным

корректирующим устройством

1. Строится ЛАЧХ неизменной части САУ (без корректирующего уст-

ройства) .

2.По заданным требованиям к качеству строится желаемая ЛАЧХ .

3. По строится соответствующая ЛФЧХ.

4. Определяются запасы устойчивости по амплитуде и фазе.

5. Путем вычитания из находят ЛАЧХ корректирующего устройства .

6.По выбирают его технический аналог.

7. Если технический аналог отличается, надо скорректировать с учетом технического аналога.

Если получен хороший результат, то решение задачи синтеза заканчивается. Если результат не удовлетворяет выбирается другой аналог.

Синтез САУ методом корневых годографов

Качество проектируемой САУ с точки зрения быстродействия и запаса устойчивости может характеризоваться расположением корней числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы.

Зная корни, можно изобразить их расположение на комплексной плоскости. Корни могут быть определены расчетами с использованием стандартных программ.

Чем больше - степень устойчивости, и чем меньше - степень колебательности, тем лучше качество САУ.

При плавном изменении значения какого-либо параметра корни будут перемещаться на плоскости корней, прочерчивая некоторую кривую, которая называется траекторией корней или корневым годографом. Построив траектории всех корней, можно выбрать такое значение варьируемых параметров, которые соответствуют наилучшему расположению корней.

Пусть имеется передаточная функция замкнутой системы

Коэффициенты числителя и знаменателя определенным образом выражены через параметры объекта, регулятора, корректирующих устройств. Если нужно выбрать величину какого-либо параметра, то необходимо принять некоторые постоянные значения для всех остальных параметров, а для искомого параметра задавать различные числовые значения. Для каждого задаваемого значения варьируемого параметра необходимо вычислять значения корней числителя и знаменателя и строить траектории корней, по которым выбирают то значение параметра, которое обеспечивает наилучшее расположение корней.

Синтез с использованием стандартных переходных процессов

(метод стандартных коэффициентов)

Частный способ использования этого метода – диаграмма Вышнеградского для систем третьего порядка.

Стандартные переходные процессы строятся в нормированном виде при единичном входном воздействии по безразмерному времени , где

Синтез линейных САУ путем выделения границ устойчивости и границ заданной степени устойчивости

Выделив методом Д-разбиения область устойчивости, мы должны выбирать рабочую точку (определяемую параметрами системы) внутри этой области. Однако разным точкам будет соответствовать разное распределение корней характеристического уравнения, а следовательно, и разный характер переходного процесса. Хотелось бы иметь хороший переходный процесс.

Известно, что длительность переходного процесса определяется ближайшим к мнимой оси корнем.

Если нам задано требуемое время переходного процесса , то мы можем определить . Если корни будут расположены левее , то длительность переходного процесса будет меньше заданного . .

Если в уравнении (3) параметры, в плоскости которых хотим построить границу заданной степени устойчивости, входят в характеристическое уравнение линейно независимо, то к уравнению (3) можно применить рассмотренный раньше метод Д- разбиения. Выделенная граница будет линией заданной степени устойчивости.

Цель работы

Расчет частотным методом корректирующего устройства для линейной системы (рис.4.1) .

Рис.4.1. Структурная схема исходной системы

Основные сведения

Первым этапом частотного метода синтеза является построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) разомкнутой системы. Затем по требованиям к качеству переходного процесса (t п иs% ) строят среднечастотный участок желаемой ЛАЧХ, который имеет наклон - 20 дб/дек и пересекает ось абсцисс в точке (lgw c >0 ), - где w c - частота среза,w c =(0.6 - 0.9)·w n, w n - частота положительности. Исходя из заданного перерегулирования s%, по номограммам (рис.4.2) определяют запас устойчивости по модулю DL , ограничивающий среднечастотный участок ЛАЧХ, иw п =Np/t п , где N - коэффициент пропорциональности, соответствующий найденному значению P max .

Например, при s=25% получаемP max =1.22, N=4 .

Рис.4.2. Номограммы для определения параметров желаемой ЛАЧХ

В области высоких и низких частот желаемую характеристику сопрягают с ЛАЧХ исходной системы. Вычитая из желаемой ЛАЧХ характеристику разомкнутой системы, получают ЛАЧХ корректирующего звена, по которому определяют его передаточную функцию. Структурная схема системы с учетом корректирующего звена показана на рис.4.3.

Методические указания

Для выполнения лабораторной работы необходимо рассчитать параметры корректирующего звена в соответствии с требованиями к качеству процессов в замкнутой системе. Работа выполняется с помощью одного из пакетов прикладных программ для исследования САУ(COMPAS, SIMNON, MATLAB ) .

Рис.4.3. Структурная схема скорректированной системы

Порядок выполнения работы

4.1. Набрать модель исследуемой системы (рис.4.1.), параметры которой приведены в таблице. Зарисовать графики процессов y(t) , D(t) .

4.2. По требованиям к качеству переходных процессов в системе рассчитать параметры корректирующего звена.

Таблица 4.1

Параметр	Номер варианта
W 1 (p)
W 2 (p)
K o
K 1	2.0	2.0	2.0	2.0	1.4	2.0	1.5	2.0	2.0
T 1 (0)	0.03	0.025	0.04	0.1	0.13	0.05	5.0	0.25	0.017
K 2	2.5	1.0	0.9	1.5	2.0	2.1	3.3	1.25	2.0
T 2 (0)	-	-	-	0.15	0.025	0.013	0.05	0.017	0.25
D	0.3	0.5	0.4	-	-	-	0.4	0.5	0.7
t п (0)	1.7	0.8	2.0	2.0	1.6	1.2	2.0	0.4	2.0
s%

4.3. Набрать модель корректирующего звена и включить его в систему. Снять переходный процесс в скорректированной системе и убедиться, что показатели качества соответствуют заданным.

4.4. Изменить параметры корректирующего звена, зафиксировать переходный процесс, определить показатели качества процесса, сравнить их с результатами п.4.3.

5.1. Цель работы.

5.2. Структурные схемы системы без коррекции и с коррекцией.

5.3. ЛАЧХ исходной системы, желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы и корректирующего звена.

5.4. Передаточная функция корректирующего звена.

5.5. Переходные процессы по п.4.1, 4.3, 4.4.

6.Контрольные вопросы

6.1. Какая часть ЛАЧХ определяет свойства системы в статическом режиме?

6.2. Какая часть ЛАЧХ определяет свойства системы в динамике?

6.3. Как по передаточной функции системы построить ее асимптотическую ЛАЧХ?

6.4. Как учитываются внешние возмущения при синтезе регулятора?

6.5. Как связаны показатели качества замкнутой системы с видом желаемой ЛАЧХ?

6.6. Как по ЛАЧХ корректирующего звена восстановить его передаточную функцию?

Лабораторная работа № 5

Исследование свойств наблюдателей состояния

Цель работы

Исследовать методы построения и свойства наблюдателей состояния для динамических объектов.

Основные сведения

Рассматриваются линейные стационарные объекты поведение, которых описывается передаточной функцией

W(p) = = (5.1)

U T2p2+2dTp+1

Существует ряд методов синтеза систем управления (методы аналитического конструирования оптимальных регуляторов, модальный метод синтеза), применение которых предполагает использование переменных состояния системы в законе управления. Однако на практике обычно доступна для измерения только выходная переменная системы y(t), поэтому возникает задача получения оценки вектора состояния x(t).

Для оценки переменных состояния используется специальная техническая система - фильтр оценки состояния (наблюдатель состояния). В лабораторной работе рассматриваются такие способы построения наблюдателей состояния, как способ параллельной модели и фильтр Калмана. Способ параллельной модели может быть использован для устойчивых линейных стационарных объектов (5.1). При этом уравнение наблюдателя состояния имеет вид

T 2 ÿ+2dTý+y=KU (5.2)

Соответствующая структурная схема объекта (5.1) с наблюдателем состояния приведена на рис. 5.1.

В случае, когда объект управления (5.1) неустойчив или требуется ускорить процесс оценки переменных состояния, обычно используется фильтр Калмана, который кроме параллельной модели содержит стабилизирующую добавку L(p). Структурная схема системы приведена на рис. 5.2.

Передаточная функция, связывающая между собой переменные Δ и U , имеет вид:

W (p) = = - . (5.3)

U T 2 p 2 +2dTp+1+KL(p)

Характеристическое уравнение наблюдателя следующее

T 2 p 2 +2dTp+1+KL(p)=0. (5.4)

Выбор коэффициентов стабилизирующей добавки L(p) осуществляется исходя из требований к качеству переходных процессов в наблюдателе. При этом формируется желаемое характеристическое уравнение, коэффициенты которого приравниваются коэффициентам уравнения (5.4).

Рис.5.1. Структурная схема объекта с наблюдателем

в виде параллельной модели

Рис.5.2. Структурная схема объекта с наблюдателем

в виде фильтра Калмана

Методические указания

3.1. Выполнить расчет стабилизирующей добавки L(p)=K З , исходя изпроцесса в наблюдателе.

τ 2 p+1

переходных процессов в наблюдателе, где t п - желаемое время переходного процесса; σ% - величина допустимого перерегулирования.

3.3. Пункты, отмеченные символом *, выполняются по рекомендации преподавателя.

Порядок выполнения работы

4.1. Собрать схему моделирования системы (5.1) с наблюдателем состояния по способу параллельной модели (рис.5.1) в соответствии с номером варианта.

Таблица 5.1

Параметр	Номер варианта
К	8.0	6.0	5.0	12.0	3.0	4.0	20.0	8.0
Т,(с)	4.0	2.0	4.0	5.0	2.0	1.0	5.0	2.0
d	0.5	0.3	0.5	0.4	0.3	0.2	0.6	0.25
t п,(c)	1.0	0.6	1.5	2.0	0.5	0.3	1.5	0.5
s%

4.2. Зарисовать графики переходных процессов для переменных состояния объекта и наблюдателя, а также ошибку Δ(t),

4.3. Провести моделирование аналогично п.4.2, подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при различных начальных условиях для объекта и наблюдателя.

4.4. Изменить величину T в объекте в 2 раза и повторить п.4.3.

4.5. Оценить влияние K на свойства системы, последовательно увеличивая и уменьшая его значение для объекте в 2 раза относительно номинального и повторяя п. 4.3.

4.6. Собрать модель системы с фильтром Калмана (рис.5.2) и стабилизирующей добавкой L(p)=к З Δ(t), подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

4.7. Провести моделирование аналогично п.4.6, подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при различных начальных условиях для объекта и наблюдателя.

4.8. Исследовать влияние K , последовательно увеличивая и уменьшая его значение в два раза относительно расчетного и повторить п. 4.6 и 4.7.

4.9*. Изменить величину T в объекте в 2 раза и повторить п.4.7.

4.10*. Оценить влияние K на свойства системы, последовательно увеличивая и уменьшая его значение для объекта в 2 раза относительно номинального и повторяя п. 4.7.

4.11. Собрать модель системы с фильтром Калмана и стабилизирующей добавкой L(p)=K(τ 1 p+1)/(τ 2 p+1) и зарисовать графики переходных процессов для выходных переменных объекта и наблюдателя, а также ошибку Δ(t), подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

4.12. Провести моделирование аналогично п.4.11, подавая на вход исследуемой системы единичное ступенчатое воздействие при различных начальных условиях для объекта и наблюдателя.

4.13. Изменить величину T в объекте в 2 раза и повторить п. 4.12, сравнить с результатами пп. 4.4 и 4.9.

4.14. Оценить влияние K на свойства системы, последовательно увеличивая и уменьшая его значение для объекта в 2 раза относительно номинального и повторяя п.4.12. cравнить с результатами, полученными в пп.4.5 и 4.10.

5.1. Цель работы.

5.2. Структурные схемы исследованных систем.

5.3. Расчет параметров стабилизирующей добавки L(p).

5.4. Графики результатов моделирования.

5.5. Выводы по работе.

6. Контрольные вопросы

6.1. Какова область применения способа параллельной модели?

6.2. Как влияет изменение параметров объекта на ошибку оценки переменных состояния способом параллельной модели?

6.3. Как выбирают параметры стабилизирующей добавки L(p) ?

6.4. Какова область применения фильтров Калмана?

6.5. Как влияет изменение параметров объекта на ошибку оценки переменных состояния с помощью фильтра Калмана?

6.6. Можно ли изменить скорость оценки переменных состояния с помощью наблюдателя в виде параллельной модели?

6.7. Как осуществляется оценка переменных состояния, если объект и наблюдатель имеют различные начальные условия?

Лабораторная работа № 6

Задача коррекции состоит в повышении точности систем как в установившихся режимах, так и в переходных. Она возникает тогда, когда стремление уменьшить ошибки управления в типовых режимах приводит к необходимости использования таких значений коэффициента усиления разомкнутой САУ, при которых без принятия специальных мер (установки дополнительных звеньев - корректирующих устройств) система оказывается неустойчивой.

Типы корректирующих устройств

Различают три вида основных корректирующих устройств (Рис.6.1): последовательные (W к1 (p)), в виде местной обратной связи (W к2 (p)) и параллельные (W к3 (p)).

Рис.6.1. Структурные схемы корректирующих устройств.

Способ коррекции с помощью последовательных корректирующих устройств прост в расчетах и легко технически реализуется. Поэтому он нашел широкое применение, особенно при коррекции систем, в которых используются электрические цепи с немодулированным сигналом. Последовательные корректирующие устройства рекомендуется применять в системах, в которых нет дрейфа параметров звеньев. В противном случае требуется подстройка параметров коррекции.
Коррекция систем управления с помощью параллельного корректирующего устройства эффективна, когда имеется необходимость высокочастотного шунтирования инерционных звеньев. В этом случае формируются достаточно сложные законы управления с введением производных и интегралов от сигнала ошибки со всеми вытекающими из этого недостатками.
Коррекция местной (локальной) обратной связью используется в системах автоматического управления наиболее часто. Достоинством коррекции в виде местной обратной связи является существенно ослабление влияния нелинейностей характеристик звеньев, входящих в местный контур, а также снижение зависимости параметров настройки регуляторов от дрейфа параметров устройств.
Использование того или иного вида корректирующих устройств, т.е. последовательных звеньев, параллельных звеньев или обратных связей, определяется удобством технической реализации. В этом случае передаточная функция разомкнутой системы должна быть одной и той же при различном включении корректирующих звеньев:

Приведенная формула (6.1) позволяет произвести пересчет одного типа коррекции на другой, чтобы выбрать наиболее простой и легко реализуемый.

Кафедра Дистанционного и Заочного

Синтез САУ

Синтез системы - это направленный расчет, целью которого является: построение рациональной структуры системы; нахождение оптимальных величин параметров отдельных звеньев. При множестве возможных решений первоначально необходимо сформулировать технические требования к системе. А при условии накладываемых на САУ определенных ограничений необходимо выбрать критерий оптимизации - статическая и динамическая точность, быстродействие, надежность, затраты энергии, цена и т.д.
При инженерном синтезе ставятся задачи: достижение требуемой точности; обеспечение определенного характера переходных процессов. В этом случае синтез сводится к определению вида и параметров корректирующих средств, которые необходимо добавить к неизменяемой части системы, чтобы обеспечить показатели качества не хуже заданных.
Наибольшее распространение в инженерной практике получил частотный метод синтеза с помощью логарифмических частотных характеристик.
Процесс синтеза системы управления включает в себя следующие операции:
- построение располагаемой ЛАЧХ L 0 (ω) исходной системы W 0 (ω), состоящей из регулируемого объекта без регулятора и без корректирующего устройства;
- построение низкочастотной части желаемой ЛАЧХ на основе предъявляемых требований точности (астатизма);
- построение среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ, обеспечивающего заданное перерегулирование и время регулирования t п САУ;
- согласование низко- со среднечастотным участком желаемой л.а.х. при условии получения наиболее простого корректирующего устройства;
- уточнение высокочастотной части желаемой л.а.х. на основе требований к обеспечению необходимого запаса устойчивости;
- определение вида и параметров последовательного корректирующего устройства L ку (ω) = L ж (ω) - L 0 (ω), т.к. W ж (р) = W ку (р)*W 0 (р);
- техническая реализация корректирующих устройств. В случае необходимости проводится перерасчет на эквивалентные параллельное звено или ОС;
- поверочный расчет и построение переходного процесса.
Построение желаемой л.а.х. производится по частям.
Низкочастотная часть желаемой л.а.х. формируется из условия обеспечения требуемой точности работы системы управления в установившемся режиме, то есть из условия того, что установившаяся ошибка системы Δ() не должна превышать заданное значение Δ()≤Δ з.
Формирование запретной низкочастотной области для желаемой л.а.х. возможно разными способами. Например, при подаче на вход синусоидального сигнала требуется обеспечить следующие допустимые показатели: Δ m - максимальная амплитуда ошибки; v m - максимальную скорость слежения; ε m - максимальное ускорение слежения. Ранее было показано, что амплитуда ошибки при воспроизведении гармонического сигнала Δ m =g m / W(jω k) , т.е. определяется модулем передаточной функции разомкнутой САУ и амплитудой входного воздействия g m . Для того, чтобы ошибка САУ не превышала Δ з, желаемая л.а.х. должна проходить не ниже контрольной точки А к с координатами: ω=ω к, L(ω к)= 20lg|W(jω k)| =20lg g m /Δ m .
Известны соотношения:
g(t) = g m sin(ω k t); g"(t) = g m (ω k t); g""(t) = -g m ω k 2 sin(ω k t);
v m = g m k; ε m = g m ω k 2 ; g m = v m 2 /ε m ; ω k = ε m / v m . (6.2)
Запретная область, соответствующая системе с астатизмом 1-го порядка и обеспечивающая работу с требуемой погрешностью по амплитуде слежения, скорости и ускорению слежения, представлена на рис. 6.2.

Рис.6.2. Запретная область желаемой л.а.х.

Добротность по скорости K ν =v m / Δ m , добротность по ускорению K ε =ε m /Δ m . В том случае, если требуется обеспечить только статическую ошибку регулирования при подаче на вход сигнала g(t)=g 0 =const, то низко-частотный участок желаемой л.а.х. должен иметь наклон 0 дБ/дек и проходить на уровне 20lgK тр, где К тр (требуемый коэффициент усиления разомкнутой САУ) рассчитывается по формуле

Δ з ()=ε ст =g 0 /(1+ К тр), откуда К тр ≥ -1.

Если требуется обеспечить слежение с заданной точность от задающего воздействия g(t)=νt при ν=const, то установившаяся скоростная ошибка ε ск () =ν/К тр. Отсюда находится К тр =ν/ε cк и проводится низкочастотная часть желаемой ЛАХ с наклоном -20 дБ/дек через добротность по скорости К ν = К тр =ν/ε cк или точку с координатами: ω=1 c -1, L(1)=20lgk тр дБ.
Как было показано ранее, среднечастотный участок желаемой л.а.х. обеспечивает основные показатели качества переходного процесса - перерегулирование σ и время регулирования t п. Среднечастотный участок желаемой л.а.х. должен иметь наклон -20 дБ/дек и пересекать ось частот на частоте среза ω ср, которая определяется по номограммам В.В.Солодовникова (рис.6.3). Рекомендуется учитывать порядок астатизма проектируемой системы и выбирать ω ср по соответствующей номограмме.

Рис.6.3. Номограммы качества Солодовникова:
а - для астатических САУ 1-го порядка; б - для статических САУ

Так например, для σ m =35% и t п =0.6 с, пользуясь номограммой (рис.6.3,а) для астатической системы 1-го порядка, получим t п =4.33 π/ω ср или ω ср =21.7 с -1 .
Через ω ср =21.7 с -1 необходимо провести прямую с наклоном -20 дБ/дек, а ширина среднечастотного участка определяется из условия обеспечения требуемого запаса устойчивости по модулю и фазе. Известны разные подходы к установлению запасов устойчивости . Необходимо помнить, что чем выше в системе частота среза, тем больше вероятность того, что при расчетах скажется погрешность не учитываемых малых постоянных времени отдельных устройств САУ. Поэтому рекомендуется с ростом ω ср искусственно увеличивать запасы устойчивости по фазе и модулю. Так для двух типов САУ рекомендуется пользоваться приведенной в таблицей. При высоких требования к качеству переходных процессов, например,

20%<σ m <24%; ,

25%<σ m <45%; ,

рекомендуются следующие средние показатели устойчивости: φ зап =30°, H м =12 дБ, -H м =10 дБ.
На рис.6.4 приведен вид среднечастотного участка желаемой л.а.х., ширина которого обеспечивает требуемые запасы устойчивости.

Рис.6.4. Среднечастотная часть желаемой л.а.х.

После этого участки средних и низких частот сопрягаются отрезками прямых с наклонами -40 или -60 дБ/дек из условия получения наиболее простого корректирующего устройства.
Наклон высокочастотного участка желаемой л.а.х. рекомендуется оставить равным наклону высокочастотного участка располагаемой л.а.х. В этом случае корректирующее устройство будет более помехозащищенным. Согласование средне- и высокочастотного участков желаемой л.а.х. также проводится с учетом получения простого корректирующего устройства и, кроме того, обеспечения нужных запасов устойчивости.
Передаточная функция желаемой разомкнутой системы W ж (p) находится по виду желаемой л.а.х. L ж (ω). Затем строятся фазовая частотная характеристика желаемой разомкнутой САУ и переходная характеристика желаемой замкнутой системы и оцениваются реально полученные показатели качества проектируемой системы. Если они удовлетворяют требуемым значениям, то построение желаемой л.а.х. считается законченным, в противном случае построенные желаемые ЛЧХ необходимо скорректировать. Для снижения перерегулирования расширяют среднечастотный участок желаемой л.а.х. (увеличивают значение ±H м). Для повышения быстродействия системы необходимо увеличить частоту среза.
Для определения параметров последовательного корректирующего устройства необходимо:
а) вычесть из желаемой л.а.х. L ж располагаемую л.а.х. L 0 , т.е. найти л.а.х. минимально-фазового корректирующего устройства L ку;
б) по виду л.а.х. последовательного корректирующего устройства L ку написать его передаточную функцию и пользуясь справочной литературой подобрать конкретную схему и реализацию.
На рис.6.5 приведен пример определения передаточной функции последовательного корректирующего устройства.

Рис.6.5. ЛАХ располагаемой L 0 , желаемой L ж разомкнутой системы
и последовательного корректирующего устройства L ку

После графического вычитания получаем следующую передаточную функцию корректирующего устройства

Параллельное корректирующее устройство или корректирующее устройство в виде местной обратной связи может быть получено пересчетом по формуле (6.1).
По полученной передаточной функции W ку (р) необходимо спроектировать реальное корректирующее устройство, которое может быть реализовано аппаратно или программно. В случае аппаратной реализации требуется подобрать схему и параметры корректирующего звена. В литературе имеются таблицы типовых корректирующих устройств как пассивных, так и активных, как на постоянном, так и переменном токе. В том случае, если используется для управления САУ ЭВМ, то предпочтительнее программная реализация.

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обуч

Большое распространение получили в настоящее время системы, построенные по принципу подчиненного регулирования, который поясняется рис.6.6. В системе предусматривается n контуров регулирования со своими регуляторами W pi (p), причем выходной сигнал регулятора внешнего контура является предписанным значением для внутреннего контура, т.е. работа каждого внутреннего контура подчинена внешнему контуру.

Рис.6.6. Структурная схема САУ подчиненного регулирования

Два главных достоинства определяют работу систем подчиненного регулирования.
1. Простота расчета и настройки. Настройка в процессе наладки ведется начиная с внутреннего контура. Каждый контур включает в себя регулятор, за счет параметров и структуры которого получаются стандартные характеристики. Причем в каждом контуре компенсируется наибольшая постоянная времени.
2. Удобство ограничения предельных значений промежуточных координат системы. Это достигается за счет ограничения определенным значением выходного сигнала регулятора внешнего контура.
Вместе с тем, из принципа построения системы подчиненного регулирования очевидно, что быстродействие каждого внешнего контура будет ниже быстродействия соответствующего внутреннего контура. Действительно, если в первом контуре частота среза л.а.х. составит 1/2T μ , где 2T μ - сумма малых нескомпенсированных постоянных времени, то даже при отсутствии во внешнем контуре других звеньев с малыми постоянными времени, частота среза его л.а.х. будет 1/4T μ и т.д. Поэтому системы подчиненного регулирования редко строятся с числом контуров больше трех.
Возьмем типовой контур рис.6.7 и настроим его на модульный (МО) и симметричный (СО) оптимумы.

Рис.6.7. Схема типового контура

На схеме рис.6.7 обозначены: Т μ - сумма малых постоянных времени;
Т о - большая постоянная времени, подлежащая компенсации; К ε и К O - соответственно коэффициенты усиления блоков с малыми постоянными времени и объекта управления. Следует заметить, что от типа звена, постоянную времени которого следует компенсировать, зависит и тип регулятора W p (p). Он может быть П, И, ПИ и ПИД. В качестве примера возьмем ПИ - регулятор:

.

Для модульного оптимума выберем параметры:

Тогда передаточная функция разомкнутого контура будет иметь вид:

Логарифмические частотные характеристики, соответствующие передаточной функции W(p), изображены на рис.6.8,а.

Рис.6.8. ЛЧХ и h(t) при модульной настройке

При ступенчатом управляющем воздействии выходная величина в первый раз достигает установившегося значения через время 4,7Тμ, перерегулирование составляет 4,3%, а запас по фазе 63° (рис.6.8, б). Передаточная функция замкнутой САУ имеет вид

Если представить характеристическое уравнение замкнутой САУ в виде Т 2 р 2 +2ξТр+1=0, то коэффициент демпфирования при модульном оптимуме имеет величину . В тоже время видно, что время регулирования не зависит от большой постоянной времени Т о. Система имеет астатизм первого порядка. При настройке системы на симметричный оптимум выбирают параметры ПИ - регулятора следующим образом:

Тогда передаточная функция разомкнутого контура имеет вид

Соответствующие ей логарифмические частотные характеристики и график переходного процесса представлены на рис.6.9.

Рис.6.9. ЛЧХ и h(t) при настройке на симметричный оптимум

Время первого достижения выходной величиной установившегося значения составляет 3,1Т μ , максимальное перерегулирование достигает 43%, запас по фазе -37° . САУ приобретает астатизм второго порядка. Следует отметить, что если звено с наибольшей постоянной времени представляет собой апериодическое 1-го порядка, то с ПИ - регулятором при Т о =4Т μ переходные процессы соответствуют процессам при настройке на МО. Если Т о <4Т μ , то настройка регулятора на τ=Т μ теряет смысл. Необходимо выбрать другой тип регулятора.
В ТАУ известны и другие типы оптимальных настроек регуляторов, например:
- биномиальная, когда характеристическое уравнение САУ представляется в виде (p+ω 0) n - где ω 0 - модуль n - кратного корня;
- баттерворта, когда характеристические уравнения САУ различных порядков имеют вид


Эти настройки целесообразно применять, когда в системе используется модальное управление по каждой координате.

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.

Построение переходного процесса

Существуют три группы методов построения переходных процессов: аналитические; графические, использующие частотные и переходные характеристики; построение переходных процессов с помощью ЭВМ. В наиболее сложных случаях используются ЭВМ, которые позволяют кроме моделирования САУ, подключать к машине отдельные части реальной системы, т.е. близки к экспериментальному методу. Первые две группы используются в основном в случае простых систем, а также на этапе предварительного исследования при существенном упрощении системы.
Аналитические методы основаны на решении дифференциальных уравнений системы или определении обратного преобразования Лапласа от передаточной функции системы.
Расчет переходных процессов по частотным характеристикам используют тогда, когда анализ САУ с самого начала ведется частотными методами. В инженерной практике для оценки показателей качества и построения переходных процессов в системах автоматического управления получил распространение метод трапецеидальных частотных характеристик, разработанный В.В.Солодовниковым .
Установлено, что если на систему действует единичное задающее воздействие, т.е. g(t)=1(t), а начальные условия являются нулевыми, то реакцию системы, которая представляет собой переходную характеристику, в этом случае можно определить как

(6.3)
(6.4)

где P(ω) - вещественная частотная характеристика замкнутой системы; Q(ω) - мнимая частотная характеристика замкнутой системы, т.е. Ф g (jω)=P(ω)+jQ(ω).
Метод построения заключается в том, что построенную вещественную характеристику P(ω) разбивают на ряд трапеций, заменяя приближенно кривые линии прямолинейными отрезками так, чтобы при сложении всех ординат трапеций получилась исходная характеристика рис.6.10.

Рис.6.10. Вещественная характеристика замкнутой системы

где: ω рi и ω срi - соответственно частота равномерного пропускания и частота среза каждой трапеции.
Затем для каждой трапеции определяется коэффициент наклона ω рi /ω срi и по таблице h-функций строятся переходные процессы от каждой трапеции hi. В таблице h-функций дано безразмерное время τ. Для получения реального времени t i необходимо τ разделить на частоту среза данной трапеции. Переходный процесс для каждой трапеции необходимо увеличить в P i (0) раз, т.к. в таблице h-функций даны переходные процессы от единичных трапеций. Переходный процесс САУ получается алгебраическим суммированием построенных h i процессов от всех трапеций.

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обучения

Вопросы по теме №6

1. Что понимается под улучшением качества процесса управления и как это достигается?
2. Назовите линейный стандартный закон управления.
3. Расскажите о типовых законах управления и типовых регуляторах.
4. Каково назначение корректирующих устройств? Укажите способы их включения и особенности.
5. Поясните постановку задачи синтеза систем.
6. Перечислите этапы синтеза систем.
7. Объясните построение желаемой ЛАХ проектируемой системы.
8. Каким образом формируется передаточная функция разомкнутой проектируемой системы?
9. Как определяются передаточные функции корректирующих устройств?
10. Каковы достоинства и недостатки параллельных и последовательны корректирующих устройств?
11. Каким образом пользуются номограммами "замыкания"?
12. Перечислите методы построения переходных процессов.
13. Как по вещественной характеристике определить установившееся значение переходного процесса?
14.Как изменить желаемую л.а.х. для повышения запасов устойчивости?

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обу

Тема №7: Нелинейные САУ

Введение

Большинство характеристик реальных устройств в общем случае являются нелинейными и некоторые из них не могут быть линеаризованы, т.к. имеют разрывы второго рода и к ним кусочно-линейная аппроксимация неприменима. Работу реальных звеньев (устройств) могут сопровождать такие явления, как насыщение, гистерезис, люфт, наличие зоны нечувствительности и т.д. Нелинейности могут быть естественными и искусственными (преднамеренно вводимые). Естественные нелинейности присущи системам в силу нелинейного проявления физических процессов и свойств у отдельных устройств. Например, механическая характеристика асинхронного двигателя. Искусственные нелинейности вводятся разработчиками в системы, чтобы обеспечить требуемое качество работы: для оптимальных по быстродействию систем применяют релейное управление, наличие нелинейных законов в поисковых и безпоисковых экстремальных системах, системы с переменной структурой и т.д.
Нелинейной системой называется такая система, в состав которой входит хотя бы один элемент, линеаризация которого невозможна без потери существенных свойств системы управления в целом. Существенными признаками нелинейности являются: если некоторые координаты или их производные по времени входят в уравнение в виде произведений или степени, отличной от первой; если коэффициенты уравнения являются функциями некоторых координат или их производных. При составлении дифференциальных уравнений нелинейных систем сначала составляют дифференциальные уравнения для каждого устройства системы. При этом характеристики устройств, допускающих линеаризацию, линеаризуются. Элементы, не допускающие линеаризации, называются существенно нелинейными . В результате получают систему дифференциальных уравнений, в которой одно или несколько уравнений нелинейные. Устройства, допускающие линеаризацию, образуют линейную часть системы, а устройства, которые не могут быть линеаризованы, составляют нелинейную часть. В простейшем случае структурная схема САУ нелинейной системы представляет собой последовательное соединение безынерционного нелинейного элемента и линейной части, охваченное обратной связью (рис.7.1). Так как для нелинейных систем не применим принцип суперпозиции, то, проводя структурные преобразования нелинейных систем, единственным ограничением по сравнению со структурными преобразованиями линейных систем, является то, что нельзя переносить нелинейные элементы через линейные и наоборот.

Рис. 7.1. Функциональная схема нелинейной системы:
НЭ - нелинейный элемент; ЛЧ - линейная часть; Z(t) и X(t)
соответственно выход и вход нелинейного элемента.

Классификация нелинейных звеньев возможна по различным признакам. Наибольшее распространение получила классификация по статическим и динамическим характеристикам. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые - в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Примеры таких характеристик приведены в . На рис.7.2. приведены примеры однозначных (без памяти) и многозначных (с памятью) нелинейных характеристик. В этом случае учитывается направление (знак) скорости сигнала на входе.

Рис.7.2. Статические характеристики нелинейных элементов

Поведение нелинейных систем при наличии существенных нелинейностей имеет ряд особенностей, отличных от поведения линейных САУ :
1. выходная величина нелинейной системы непропорциональна входному воздействию, т.е. параметры нелинейных звеньев зависят от величины входного воздействия;
2. переходные процессы в нелинейных системах зависят от начальных условий (отклонений). В связи с этим, для нелинейных систем введены понятия устойчивости "в малом", "в большом", "в целом". Система устойчива "в малом", если она устойчива при малых (бесконечно малых) начальных отклонениях. Система устойчива "в большом", если она устойчива при больших (конечных по величине) начальных отклонениях. Система устойчива "в целом", если она устойчива при любых больших (неограниченных по величине) начальных отклонениях. На рис.7.3 приведены фазовые траектории систем: устойчивой "в целом" (а) и системы устойчивой "в большом" и неустойчивой "в малом" (б);

Рис.7.3. Фазовые траектории нелинейных систем

3. для нелинейных систем характерен режим незатухающих периодических колебаний с постоянной амплитудой и частотой (автоколебаний), возникающий в системах при отсутствии периодических внешних воздействий;
4. при затухающих колебаниях переходного процесса в нелинейных системах возможно изменение периода колебаний.
Эти особенности обусловили отсутствие общих подходов при анализе и синтезе нелинейных систем. Разработанные методы позволяют решать лишь локальные нелинейные задачи. Все инженерные методы исследования нелинейных систем разделяются на две основные группы: точные и приближенные. К точным методам относится метод А.М.Ляпунова, метод фазовой плоскости, метод точечных преобразований, частотный метод В.М.Попова. Приближенные методы основаны на линеаризации нелинейных уравнений системы с применением гармонической или статистической линеаризации. Границы применимости того или иного метода буду рассмотрены ниже. Следует заметить, что в обозримом будущем имеется необходимость дальнейшего развития теории и практики нелинейных систем.
Мощным и эффективным методом исследования нелинейных систем является моделирование, инструментарием которого служит компьютер. В настоящее время многие сложные для аналитического решения теоретические и практические вопросы сравнительно легко могут быть решены с помощью вычислительной техники.
Основными параметрами, характеризующими работу нелинейных САУ, являются:
1. Наличие или отсутствие автоколебаний. Если автоколебания имеются, то необходимо определить их амплитуду и частоту.
2. Время выхода регулируемого параметра в режим стабилизации (быстродействие).
3. Наличие или отсутствие скользящего режима.
4. Определение особых точек и особых траекторий движения.
Это далеко не полный перечень исследуемых показателей, сопровождающих работу нелинейных систем. Системы экстремальные, самонастраивающиеся, с переменными параметрами требуют оценки и дополнительных свойств.

© В.Н. Бакаев, Вологда 2004. Разработка электронной версии: М.А.Гладышев, И.А. Чуранов.
Вологодский Государственный Технический Университет.
Кафедра Дистанционного и Заочного обучения.

Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Метод является приближенным и может быть использован только в случае, когда линейная часть системы является фильтром низких частот, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники. При этом линейная часть может быть описана дифференциальным уравнением любого порядка, а нелинейный элемент может быть как однозначным, так и многозначным.
В основе метода гармонической линеаризации (гармонического баланса) лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой ω и амплитудой А, т.е. x = А sinωt. В предположении, что линейная часть является фильтром низких частот, спектр выходного сигнала линейной части ограничивается только первой гармоникой, определяемой рядом Фурье (в этом и заключается приближенность метода, т.к. высшие гармоники выбрасываются из рассмотрения). Тогда связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента представляется в виде передаточной функции :

(7.1)

Уравнение (7.1) называется уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты q и q" - коэффициентами гармонической линеаризации, зависящие от амплитуды А и частоты ω входного воздействия. Для различных видов нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации сведены в таблицу . Следует заметить. что для статических однозначных коэффициент q"(А)=0. Подвергнув уравнение (7.1) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора p на jω (p = jω), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

W нэ (jω,A) = q + jq". (7.2)

После того, как проведена гармоническая линеаризация, для анализа и синтеза нелинейных САУ возможно применение всех методов, применяемых для исследования линейных систем, в том числе и использование различных критериев устойчивости. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических (автоколебательных) режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой ω 0 и амплитудой А 0 . Рассмотрим нелинейную систему, включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

(7.3)

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи (7.2). Расчетная структурная схема нелинейной системы приобретает вид рис.7.5.

Рис.7.5. Структурная схема нелинейной САУ

Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалось при анализе устойчивости линейных систем. Если линейная часть описывается передаточной функцией (7.3), а нелинейный элемент (7.2), то характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = 0 (7.4)

На основании критерия устойчивости Михайлова границей устойчивости будет прохождение годографа Михайлова через начало координат. Из выражений (7.4) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (7.4) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. это уравнение записать в виде:

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q"(ω,A)) = Re(ω 0 ,A 0 ,K) +Jm(ω 0 ,A 0 ,k) = 0 (7.5)

где ω o и A o - возможные частота и амплитуда автоколебаний.
Тогда, приравнивая к нулю действительную и мнимую части уравнения (7.5)

(7.6)